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Jeux mathématiques et logiques

Solutions de la 1ère série

Ph. Larvet, animateur de l'Atelier «Philo et Sciences»

 

FACILE ( * )

 

LES CHAUSSETTES

Je range mes chaussettes dans le premier tiroir de ma commode : 12 noires, 10 grises, 8 rouges et 6 vertes. Je me lève le matin, pas bien réveillé, j’ouvre le tiroir et je prends des chaussettes au hasard.
Combien dois-je en prendre pour être sûr d’en avoir deux de la même couleur ?

Solution :

Il suffit d’en prendre autant qu’il y a de couleurs, plus une.
Ici, nous avons 4 couleurs : noir, gris, rouge et vert.
Il suffit donc de prendre 5 chaussettes.

 

LE VERRE D’EAU

Un verre plein d’eau pèse 200 grammes.
Le même verre à moitié rempli d’eau pèse 120 grammes.

Combien pèse le verre vide ?

Solution :

Le verre plein pesant 200 g et le verre à moitié plein pesant 120 g, la moitié d’eau manquante pèse donc 200 − 120 = 80 g.
Le verre vide est le verre à moitié plein dont on enlève encore une moitié d’eau.
Il pèse donc 120 − 80 = 40 grammes.

 

LE CARRE PRESQUE MAGIQUE

 

On écrit un nombre dans chaque case de ce tableau.
La somme des nombres de la 1ère colonne est 20.
Celle des nombres de la 2ème colonne est 12.
Celle des nombres de la 1ère rangée est 13.

Quelle est la somme des nombres de la 2ème rangée ? 

 Solution :

Deux opérations suffisent !
La somme de tous les nombres du tableau est 20 + 12 = 32
La somme de la seconde rangée est donc 32 – 13 = 19

 

MOYEN ( ** )

 

QUEL EST MON AGE ?

Si on multiplie mon âge par 6 puis on soustrait 6, on obtient le même résultat qu’en soustrayant 7 de mon âge puis en le multipliant par 7.
Quel est mon âge ?

Solution :

Appelons a mon âge.
Le problème se résume à résoudre cette égalité : (a x 6) – 6 = (a – 7) x 7
=> 6a – 6 = 7a – 49
=> a = 49 – 6 = 43. 
Mon âge est donc 43 ans.

 

LES NOMBRES IMPAIRS

L’addition de deux nombres impairs donne toujours un nombre pair.
Comment pourriez-vous l’expliquer ?

Solution :

Un nombre impair peut toujours s’écrire sous la forme p + 1 ou q + 1, dans laquelle p et q sont des nombres pairs, donc divisibles par 2.
Or un nombre pair peut toujours s’écrire sous la forme p = 2a ou q = 2b

Donc la somme de deux nombres impairs peut s’écrire
Somme = (p + 1) + (q + 1) = 2a + 1 + 2b + 1 = 2a + 2b + 2
En mettant 2 en facteur, on voit que la Somme est divisible par 2 :
somme = 2(a + b + 1)

 

LE COFFRE-FORT DE PICSOU

Le code du coffre-fort de Picsou est un nombre pair de six chiffres, formé de chacun des chiffres de 1 à 6, utilisé une seule fois. Pour chaque paire de chiffres voisins, l'un est multiple de l'autre.
Quel est le code du coffre-fort ?

Solution :

Ce problème a un énoncé assez simple, mais une solution compliquée à trouver.
Le code peut être représenté par : abcdef, dans lequel chaque lettre de a à f peut prendre les valeurs de 1 à 6, chaque valeur n’étant utilisée qu’une seule fois.
Une contrainte supplémentaire est que dans chacune des paires de chiffres voisins, l’un des chiffres est multiple de l’autre.
Les paires de chiffres voisins sont : ab, bc, cd, de et ef 

Commençons par constituer toutes les paires de chiffres de 1 à 6 dont l’un est multiple de l’autre :
- commençant par le chiffre 1 : 12, 13, 14, 15, 16
- commençant par le chiffre 2 : 21, 24, 26
- commençant par le chiffre 3 : 31, 36
- commençant par le chiffre 4 : 41, 42
- commençant par le chiffre 5 : 51
- commençant par le chiffre 6 : 61, 62, 63
Le problème consiste à assembler ces paires deux à deux, de façon que le second chiffre d’une paire soit le premier de la paire suivante.

On voit tout de suite que le chiffre 5 ne forme que deux paires, 51 et 15.
On voit également que le code ne peut pas commencer par la paire 15, car il n’y a pas d’autre paire commençant par 5 que 51, et avec la paire 15, le chiffre 1 est déjà pris.

Donc le code du coffre commence par la paire 51.

Quel est le troisième chiffre ?
Supposons qu’il s’agisse de 2. Il nous reste deux paires commençant par 2 : 24 et 26
Nous ne pouvons choisir 24, car les deux paires commençant par 4 sont 41 et 42, et le 1 et le 2 sont déjà pris.
Si nous choisissons 26, nous devons ensuite choisir la paire 63 (car les paires 61 et 62 ne sont pas utilisables, le 1 et le 2 étant déjà pris). Or il ne reste pas de paire utilisable commençant par 3, le 1 et le 6 étant déjà pris.

Donc le troisième chiffre ne peut pas être un 2.

Supposons que le troisième chiffre soit un 4. Deux paires commencent par 4 : 41 et 42. Comme le 1 est déjà pris, choisissons 42. Le code commencerait donc par 5142. La paire suivante ne pourrait donc être que 26, car nous ne pouvons utiliser les paires 21 et 24, le 1 et le 4 étant déjà pris.
Le code commencerait donc par 51426. Le dernier chiffre disponible est 3, or le code doit être pair.

Donc le troisième chiffre ne peut pas être un 4.

Supposons que le troisième chiffre soit un 6. Le code commencerait par 516
Il nous reste deux paires utilisables commençant par 6 : 62 et 63
Nous ne pouvons pas choisir 63, car les deux paires commençant par 3 sont 31 et 36, or le 1 et le 6 sont déjà pris.
Si nous choisissons 62, le code commencerait donc par 5162.
La paire suivante ne peut être que 24, car 21 et 26 sont inutilisables. Le code commencerait donc par 51624. Mais les paires commençant par 4 sont 41 et 42, or le 1 et le 2 sont déjà pris.

Donc le troisième chiffre ne peut pas être un 6.
Le troisième chiffre est donc forcément un 3. Donc le code commence par 513

Les paires commençant par 3 sont 31 et 36, or le 1 est déjà pris.
Donc le code commence par 5136

Les paires commençant par 6 sont 61, 62 et 63. Le 1 et le 3 étant pris, le chiffre suivant (n°5) est forcément 2, et le dernier restant est le 4.
Le code du coffre de Picsou est donc 513624

DIFFICILE ( *** )

 

LA PROMENADE EN FORET

En me promenant l’autre jour dans la forêt, et marchant d’un bon pas, je me suis aperçu que j’avais parcouru un kilomètre en 7,x minutes.
En calculant à quelle vitesse cela correspondait, j’ai trouvé exactement 7,x kilomètres à l’heure !

Quelle est la valeur de x ?

Solution :

Un kilomètre parcouru correspond donc à 7,x minutes.
La vitesse de 7,x km/h peut se traduire par une autre correspondance :
7,x kilomètres parcourus correspondent à 60 minutes.

D’une manière générale,
si a kilomètres correspondent à b minutes
et si c km correspondent à d minutes, on peut écrire :
a km -> b min
c km -> d min => a/c = b/d ou encore a * d = b * c

Ici, on peut donc écrire :

7,x -> 1
60 -> 7,x => 60 = (7,x)² => 7,x = racine carrée de 60 = 7,746 => x = 746

En marchant à 7,746 km/h on parcourt 1 km en 7,746 min = 7 minutes et 45 secondes

(Il est intéressant de noter que ce cas particulier est unique. Il n’y a pas d’autre valeur possible de X tel qu’en marchant à X km/h on parcourt 1 km en X minutes). 

 

LE CHAMEAU ET LES BANANES

Dans le grand désert du Bakkarah, on se sert de chameaux de la variété « Banane » pour transporter des bananes. Un tel chameau peut porter jusqu’à mille bananes – mais il faut noter qu’il est assez gourmand : il consomme une banane pour chaque kilomètre parcouru.
Dans le grand désert, Ramon habite la ville de Barkh, et il attend sa livraison de bananes. A 1000 km de là, dans la ville d’Arkh, Rashti a pu constituer un stock de 3000 bananes. Rashti dispose d’un chameau « Banane » et courageusement, il part pour faire sa livraison.
Combien de bananes Rashti pourra-t-il livrer à Ramon ?

Solution :

Ce problème se résout en trois opérations, avec un peu de raisonnement :
Sachant que le chameau ne peut porter que 1000 bananes et qu’il consomme 1 banane/km, il est donc nécessaire de parcourir les 1000 km en plusieurs fois.
Par ailleurs, afin d’optimiser la livraison, il faut à chaque fois charger le chameau au maximum, donc constituer des lots de 1000 bananes.

Rashti commence par charger 1000 bananes, puis il avance d’une distance à déterminer, il dépose une quantité de bananes au point A1 puis revient au départ. Et il répète l’opération.

 
   

 Il peut ainsi constituer un lot de 2000 bananes au point A1.
Il a donc déplacé trois lots de 1000 bananes, en deux allers-retours et un aller simple
Il a donc consommé 1000 bananes, en parcourant 5 fois la distance de A jusque A1.
Une banane correspondant à 1 km parcouru, la distance de A jusque A1 = 1000 / 5 = 200 km
Rashti recommence l’opération jusqu’à un point A2, mais cette fois en ne déplaçant que deux lots de 1000 bananes (puisqu’il reste 2000 bananes au point A1).
  

 
   

Il déplace ces deux lots en un aller-retour et un aller, soit trois fois la distance entre A1 et A2. Pendant ces trois trajets, le chameau consomme encore 1000 bananes.
La distance entre A1 et A2 est donc égale à 1000 / 3 = 333 km
Le point A2 est situé à 1000 – (200 + 333) = 467 km de l’arrivée, la ville de Barkh où attend Ramon, très patiemment.
Au point A2, il reste donc un dernier lot de 1000 bananes, que Rashti charge sur son chameau, il parcourt les 467 derniers km en consommant autant de bananes, et il peut donc livrer à Ramon 1000 – 467 = 533 bananes.

 

LES TROIS PRISONNIERS

Dans la prison d’Ashkatraz (dont on ne peut pas s’évader), un gardien au grand cœur réunit trois des prisonniers les plus malins et leur tient ce discours : « Dans le dos de chacun de vous, je vais accrocher un disque, blanc ou noir. Vous allez tourner en rond dans cette cellule sans fenêtre et sans miroir. Chacun de vous pourra voir le disque des autres, mais ne verra pas son propre disque. Évidemment, pas le droit de parler ni de communiquer d’aucune façon. Je vous surveillerai par le judas. Si vous parvenez à deviner la couleur de votre disque, vous serez libéré. Si vous vous êtes trompé, votre peine sera doublée. »
Cela dit, il leur montre trois disques noirs et deux disques blancs.
Sans qu’ils puissent le voir, il attache dans le dos de chacun des prisonniers un disque noir.Les prisonniers sont enfermés dans la cellule et tournent en rond.
Après une minute à peine, le plus malin frappe à la porte et dit « Je suis sûr que j’ai un disque noir » et il est libéré.

Quel a été son raisonnement ?

Solution :

A est le prisonnier le plus malin, B et C sont les deux autres.
A se dit : « Supposons que j’aie un disque blanc. Sachant qu’il n’y a que deux disques blancs, B va se dire : ‘Supposons que j’aie un disque blanc. C voit donc deux disques blancs, 
                        il sait donc qu’il a un disque noir, donc il va sortir.
                       Mais C ne sort pas ! donc c’est que moi, B, j’ai un disque noir !’
Mais B ne sort pas !
Donc, c’est que moi, A, j’ai un disque noir ! »
Et A peut donc sortir en disant à coup sûr : « J’ai un disque noir. »