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Jeux mathématiques et logiques

Solutions de la Deuxième série

 

Ph.Larvet, animateur de l’Atelier « Philo et Sciences »

 

FACILE (*)

LA BRIQUE

Une brique et demie pèse le même poids qu'une brique et un kilogramme.
Combien pèse une brique (en kilogramme) ?

En appelant b le poids de la brique, on peut écrire l’égalité : 1,5 b = b + 1
En mettant tous les b du même côté, on obtient : 1,5 b – b = 1
D’où : 0,5 b = 1 => une brique pèse deux kilogrammes.

 

LA BOUM

Quatre filles et quatre garçons participent à une boum. Chaque danse se fait à deux, entre une fille et garçon. À un moment, on leur demande combien de danses ils ont dansé depuis le début. Les quatre garçons répondent : 2, 0, 0 et 10. Trois des filles répondent : 1, 2, 3.

Quelle est la réponse de la quatrième fille ?

Les danses se faisant par couple fille-garçon, le nombre total de danses est la somme des danses effectuées par les 4 garçons, soit 12 danses.

Les trois premières filles ayant dansé 1 + 2 + 3 = 6 danses, la dernière a donc dansé elle aussi 6 danses.

 

LA DESTINATION

Si je roule à 40 km/h, j'arrive à destination à 16 heures. Si je roule à 60 km/h, j'arrive à destination à 13 heures.

A quelle heure suis-je parti ? Quelle distance (en km) ai-je parcouru ?

Appelons t le temps du parcours à 40 km/h. La distance parcourue est égale à 40 * t
A 60 km/h, la distance est la même, mais en roulant 3 heures de moins.
On peut donc écrire : 40 * t = 60 * (t – 3)
=> 40 t = 60 t – 180 => 20 t = 180 => t = 9 heures

Je suis donc parti à 7 heures et j’ai parcouru 9 * 40 = 360 kilomètres

 

LES BOISSONS

Pour 10 euros, on peut avoir :
- soit deux boissons aux fruits et un soda,
- soit deux sodas et un verre de vin,
- soit deux boissons aux fruits et deux verres de vin.

Quel est le prix de chaque boisson ?

Appelons f le prix de la boisson aux fruits, s le prix du soda et v le prix du verre de vin. L’énoncé nous indique que :
10 = 2 f + s  (I)
10 = 2 s + v  (II)
10 = 2 f + 2 v  (III)

De la première égalité (I), nous pouvons extraire la valeur de s :
s = 10 – 2 f

Reportons cette valeur dans la seconde égalité (II) :
10 = 2 s + v => 10 = 2(10 – 2 f) + v => 10 = 20 – 4 f + v => 10 = 4 f – v

De cette nouvelle égalité, nous pouvons tirer la valeur de v :
v = 4 f – 10

Nous pouvons reporter cette valeur dans la dernière égalité (III) et obtenir ainsi le prix de la boisson aux fruits :
10 = 2 f + 2 v => 10 = 2 f + 2(4 f – 10) => 10 = 2 f + 8 f – 20 => 30 = 10 f => f = 3 euros

En reportant cette valeur dans l’expression de la valeur de v, nous avons donc maintenant le prix du verre de vin :
v = 4 f – 10 => v = (4 * 3) – 10 => v = 2 euros

Et en reportant la valeur de f dans l’expression de la valeur de s, nous avons enfin le prix du soda :
s = 10 – 2 f  => s = 10 – 6 => s = 4 euros

 

MOYEN (**) - Faisons un peu de physique !

LE SAUMON

Pour passer d’un niveau de la rivière à l’autre, un saumon prend son élan et saute à la verticale avec une vitesse initiale de 25 km/h.

A quelle hauteur va-t-il s’élever ?

Appelons h cette hauteur. Pour s’élever à cette hauteur, le saumon va dépenser une énergie cinétique qui dépend uniquement de sa masse m et de sa vitesse v. Cette énergie est donnée par la formule  E = 1/2 m v²

Une fois arrivé à la hauteur h, le saumon possède une énergie potentielle qui dépend de sa masse m, de la hauteur à laquelle il se trouve et de l’accélération de la pesanteur, notée g (pour simplifier, considérons que cette accélération vaut 10 mètres/seconde par seconde). Cette énergie potentielle est donnée par la formule : E = m g h

Les deux énergies sont égales (c’est la fameuse loi de la conservation de l’énergie) : l’énergie dépensée par le saumon pour arriver à cette hauteur est égale à l’énergie qu’il possède potentiellement par le seul fait d’être à cette hauteur.

De même, lorsque votre chat vient de sauter sur le buffet, il a dépensé autant d’énergie cinétique qu’il en possède, potentiellement, là où il se trouve, immobile à ronronner, à 90 cm du sol.

Les deux énergies étant équivalentes, les deux égalités peuvent donc s’équilibrer :

1/2 m v² = m g h

et comme la masse m se trouve de chaque côté du signe égale, elle peut donc être éliminée :

v² / 2 = g h (où l’on voit donc, curieusement, que la solution ne dépend pas de la masse du saumon, mais uniquement de sa vitesse initiale !)

Les unités de mesure doivent être cohérentes : la valeur de g étant donnée en mètres/seconde par seconde, la vitesse doit être exprimée en mètres / seconde : 25 km / h = 25000 m / 3600 sec = 6,94 m/s => (6,94)² / 2 = 10 h => le saumon a pu sauter à 2,41 mètres !

 

LA CARABINE

Je dispose d’une superbe carabine à plombs dotée d’une puissance de 20 Joules (avec un J majuscule).

Si je tire des plombs d’un demi-gramme, à quelle vitesse vont-ils être projetés hors du canon ?

L’énergie (cinétique, puisqu’il est en mouvement) d’un projectile lancé à une vitesse v dépend de sa masse et de sa vitesse : E = 1/2 m v² (même formule que pour le saumon !)

Ici, l’énergie est donnée : 20 Joules. Le « J » majuscule indique qu’il s’agit de kilojoules (avec un petit « j »). Les unités doivent être cohérentes : des mètres/seconde (vitesse) et des grammes (masse) donneront des joules (énergie, avec un petit « j »).

On a donc ici :

20000 = 1/2 * 0,5 * v² => v² = 20000 * 4 => v = Ö 80000 = 282,84 m/s

Le plomb sera donc tiré à une vitesse de près de 283 mètres/seconde, ce qui n’est pas très loin de la vitesse du son (340 m/s) !

 

LE TUBE DE VERRE

Dans un tube de verre dans lequel j’ai fait préalablement le vide, je fais tomber en même temps une plume et un marteau. Lorsque le marteau arrive en bas du tube, mon instrument de mesure me donne sa vitesse : 3 mètres/seconde.

Quelle est la hauteur du tube ?

Combien de temps après le marteau la plume arrivera-t-elle au même point, en bas du tube ?

C’est une des découvertes de Galilée : « tous les corps tombent à la même vitesse, quelle que soit leur masse. »

Il faut bien sûr, pour cela, négliger la résistance de l’air, d’où le tube à vide : dans ce tube, d’où le plus d’air possible a été enlevé (tout dépend de la puissance de la pompe à vide et de l’étanchéité du tube…) nous considérons que tous les objets tombent à la même vitesse, donc… en même temps – ce qui répond déjà à la seconde question.

Galilée a mis également en évidence la relation existant entre la hauteur d’où tombe un objet et sa vitesse de chute : v² = 2 g h (où nous retrouvons ce bon vieux g = accélération due à la pesanteur = 10 m/s / s)

Ici, la vitesse de chute du marteau étant de 3 m/s, on a : 3² = 2 * 10 * h => 9 = 20 h

=> h = 9 / 20 = 0,45 m. Le tube mesure donc 45 centimètres

 

DIFFICILE (trois étoiles)

 LE CIL

J’ouvre un CIL, puis un autre.

L’horloge sonne : je compte 100 pour chaque coup et j’ajoute le tout.

Quelle heure est-il ?

Problème très difficile, j’en suis désolé (personne n’a trouvé la réponse…)

Il fallait « voir » deux choses : d’abord, C I L est écrit en… chiffres romains ; ensuite, il fallait compter les coups jusqu’à pouvoir écrire l’heure… en chiffres romains.

C I L = 100 + 1 + 50 = 151

« Ouvrir un cil, puis l’autre » = 151 + 151 = 302

Ensuite, compter 100 pour chaque coup (douze en tout) soit 100 * 12 = 1200

« J’ajoute le tout » = 302 + 1200 = 1502, qu’on peut écrire aussi 1000 + 1 + 500 + 1

Soit, en chiffres romains : M I D I

 

 LE CACHOT

Pour ne pas être jeté au cachot, Robin doit déchiffrer une énigme :
1 est la moitié de 5 et le tiers de 4
7 est égal à 8

Quelle est la moitié de 4 ?

Il faut prendre en compte le nombre de lettres de chaque chiffre :
UN (2) est la moitié de CINQ (4) et le tiers de QUATRE (6)
SEPT (4) est en effet égal à HUIT (4)
Et donc SIX (3) ou DIX (3) est la moitié de QUATRE (6)

 

LA COURSE DE BAPTISTE

Baptiste court deux fois plus vite qu’il ne marche.
Pour aller à la ville, il met 20 minutes en marchant deux fois plus longtemps qu’il ne court.
Mais au retour, il court deux fois plus longtemps qu’il ne marche.

Combien de temps mettra-t-il au retour ?

Appelons m la vitesse de Baptiste quand il marche et 2m quand il court (puis qu’on nous dit qu’il court deux fois plus vite qu’il ne marche).

Pour aller à la ville, qui se trouve à la distance d, il met 20 minutes, qui se décomposent en 3 tiers : 2/3 en marchant et 1/3 en courant puisqu’il marche deux fois plus longtemps qu’il ne court.

On peut donc écrire une expression pour la distance d, prenant en compte le temps de l’aller :
d = (20 * (2/3) * m) + (20 * (1/3) * 2 m) = (40/3) * m + (40/3) * m = 80 m / 3

Au retour, il parcourt bien sûr la même distance, mais en mettant un temps t qui se décompose également en trois tiers, mais distribués différemment puisqu’il court deux fois plus longtemps qu’il ne marche.

On peut donc écrire une autre expression pour la distance d, prenant en compte le temps t du retour :
d = (t * (2/3) * 2 m) + (t * (1/3) * m) = 4 m t / 3  +  m t / 3 = 5 m t / 3

Les deux distances sont bien entendu égales. On peut donc écrire : 80 m / 3 = 5 t m / 3

En simplifiant par m / 3 , on obtient :

80 = 5 t => t = 16

Baptiste a donc mis 16 minutes au retour.