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Jeux mathématiques et logiques

Solutions de la 3ème série

 

Ph.Larvet, animateur de l’Atelier « Philo et Sciences »

 

FACILE ( * ) – pour jouer avec vos enfants

LES LIVRES

Romain : « Donne-moi un de tes livres, j’en aurai alors deux fois plus que toi ».
Valérie : « Non, donne m’en plutôt un des tiens, nous en aurons alors autant ».

Combien de livres possède Romain ? Et combien Valérie ?

Appelons R le nombre de livres de Romain, V le nombre de livres de Valérie.
L’assertion de Romain se traduit par : R + 1 = 2 * (V – 1)
La réponse de Valérie se traduit par : R – 1 = V + 1 => R = V + 2
Remplaçons cette valeur de R dans la première égalité :
V + 3 = 2(V – 1) => V + 3 = 2V – 2 => V = 5 ; Valérie possède 5 livres
Et comme R = V + 2 => Romain possède 7 livres

 

DRÔLE D’ANIMAL

Je viens de trouver un mot formidable. Je crois bien que sa caractéristique le rend exceptionnel dans la langue française et certainement aussi dans d'autres langues.
En effet, ce nom d’animal est composé de cinq voyelles et d’une seule consonne.

Quel est cet animal ?

O I S E A U

 

PANIER PERCÉ

Madame DEPENSETOUT fait ses courses dans cinq magasins. A la sortie de chaque boutique, curieusement, il lui reste le tiers de la somme qu'elle avait en entrant, moins deux euros.
En sortant de la dernière boutique, elle n'a plus d'argent et elle rentre chez elle.

Combien avait-elle en entrant dans le premier magasin ?

En sortant de la dernière boutique, Mme DEPENSETOUT n’a plus rien, ayant dépensé, comme dans chaque magasin, le tiers de la somme S qu’elle avait en entrant, moins deux euros.
On peut donc écrire : S/3 – 2 = 0 => S/3 = 2 => S = 6
En entrant dans le cinquième (et dernier) magasin, il lui restait donc 6 euros.
Si on appelle S la somme qu’elle avait en entrant dans le 4ème magasin, on peut écrire :
S/3 – 2 = 6 => S/3 = 8 => S = 24
En entrant dans le 3ème magasin : S/3 – 2 = 24 => S/3 = 26 => S = 78
En entrant dans le second magasin :
S/3 – 2 = 78 => S/3 = 80 => S = 240

En entrant dans le premier magasin :
S/3 – 2 = 240 => S/3 = 242 => Mme DEPENSETOUT avait 726 euros.

Pour aller un peu plus loin : si vous êtes familiarisé avec Excel ou le tableur d’Open Office, le problème peut être résolu très facilement, puisqu’il s’agit d’une itération avec une formule qui se répète : montant en sortie = montant en entrée / 3  - 2

Inscrivez 0 dans la première cellule à gauche : c’est le montant qu’il reste à Mme Depensetout en sortant du dernier magasin


Puis inscrivez dans la cellule à droite (B3) la formule qui permet de reconstituer ce qu’avait Mme Depensetout en entrant dans le 5ème magasin (= en sortant du 4ème ) : elle avait ce qui lui reste en sortant, plus deux euros, le tout multiplié par 3 :

 

 

 

 

 

 

 

En pressant sur <Entrée>, le résultat apparaît :

Il vous suffit de recopier la formule 4 fois vers la droite, et le résultat final apparaîtra :


UN RENARD

Un renard hier, incognito, vint mettre une pagaille sans nom.
Il osa s’attaquer au canard et entra dans la basse-cour.
Une fois l’estomac rempli, il réussit à ouvrir la trappe et s’en alla tranquillement vers la sortie.

Quels sont les deux animaux que le renard n’a pas rencontrés ?

Prendre les premières lettres successives des mots en gras : r h i n o c e r o s
Et prendre les dernières lettres : d r o m a d a i r e

 

MOYEN ( * * ) – Faisons un peu de physique !

ROCKETMAN ET BATMAN

Rocketman fait ses exercices dans le ciel : loopings, accélérations, chandelles…
Mais soudain, ses fusées se mettent à tousser, et brusquement, elles s’éteignent.
Rocketman commence à tomber.
Saisissant son hyperportable de 6ème génération, il appelle à son secours son ami Batman, qui par chance habite à moins de deux kilomètres du point où il risque de s’écraser.
Quand il raccroche, son hyperaltimètre de poignet lui indique qu’il se trouve à 1280 mètres du sol.

Même dans le monde des super-héros, les lois de la physique demeurent ce qu’elles sont… Sachant qu’il faut 4 secondes à Batman pour se préparer, l’homme chauve-souris arrivera-t-il à temps pour sauver son ami, compte tenu du fait que la Batmobile ne peut dépasser 395 km/h ?

 

Même dans le monde des super-héros, un objet qui tombe d’une hauteur h est soumis à la loi physique qui donne son temps t de chute : h = 1/2 g t²
avec g = accélération due à la pesanteur = pour simplifier 10 m/s par seconde

Ici, Rocketman étant à 1280 m du sol => 1280 = 5 * t² => t = 16 => il lui reste donc 16 secondes avant de toucher le sol !

Il faut 4 secondes à Batman pour se préparer et pour sauter dans sa Batmobile, il ne lui reste donc que 12 secondes pour atteindre l’endroit où Rocketman va s’écraser !
La Batmobile peut foncer jusqu’à 395 km/h, ce qui correspond à une vitesse de 109,7 m/s
En 12 secondes, il peut donc parcourir 109,7 * 12 = 1316 mètres
Or, il habite à un peu moins de 2 km du point de chute…
C’est donc très juste pour sauver Rocketman !

Batman doit donc croiser les doigts et forcer sur le moteur de la Batmobile, et la pousser jusqu’à la vitesse de 2000 / 12 = 166,67 m/s, soit 600 km/h – en espérant que le moteur tiendra ! – s’il veut arriver à temps pour sauver son ami.

 

LA SIESTE DU COMMANDANT

Dans son vaisseau spatial HyperSpeed qui fonce vers les étoiles à la moitié de la vitesse de la lumière, le commandant va faire sa sieste. Il regarde l’horloge numérique de sa cabine, qui indique 15 :12 :10. Il règle l’alarme pour 15 :28 :00, éteint sa lumière et s’endort bientôt.

Sur Terre, dans l’Observatoire du mont Malabar, grâce à son ultra-télescope, le Dr Watson surveille le vaisseau et note l’heure exacte (19 :41 :24) à laquelle le hublot s’est éteint dans la cabine du commandant, marquant le début de sa sieste.

Lorsque le hublot de la cabine du commandant se rallume, à la fin de sa sieste, quelle heure indique l’horloge de l’Observatoire ?

Le vaisseau spatial fonçant à une vitesse égale à la moitié de celle de la lumière (soit 150000 km/s), on se trouve ici dans un problème de type « relativiste », c’est-à-dire qui met en jeu (entre autres) deux phénomènes principaux inhérents à la théorie de la relativité restreinte :

- la séparation des deux référentiels temporels : celui du vaisseau, d’une part, celui de l’observateur situé sur la Terre, d’autre part (ce qui explique que les deux horloges n’indiquent pas la même heure) ;

- la « contraction » des durées mesurées dans le référentiel de la Terre par rapport au référentiel du vaisseau : les durées s’écoulant à bord du vaisseau sont « contractées » dans un rapport k par rapport à celles mesurées sur la Terre (k est ici le « facteur de Michelson-Morley », du nom des deux physiciens qui ont, en 1887, tenté de mettre en évidence l’ « éther luminifère » et ont, par voie de conséquence, mesuré avec grande précision la vitesse de la lumière – ce résultat vaudra à Michelson le Prix Nobel de Physique en 1907).

La sieste du commandant durera de 15 :12 :10 à 15 :28 :00, soit 16 minutes moins 10 secondes = (16 * 60) – 10 = 950 secondes.

Mesurée depuis la Terre, cette durée sera contractée selon le facteur k :
k = 1 / racine(1 – v²/c²) où v= vitesse du vaisseau et c = vitesse de la lumière
=> temps contracté = 950 /racine (1 – 225/900) = 823 secondes

Lorsque le hublot de la cabine du commandant du vaisseau se rallumera, après sa sieste, l’horloge de l’Observatoire indiquera
19 :41 :24 + 823 secondes (= 13 min et 43 sec), soit 19 :55 :07

 

LES CATAPULTES

Le capitaine de Montfort a fait venir trois catapultes pour attaquer le château de l’infâme Seigneur Noir. Mais il s’aperçoit que le temps de mise en œuvre des engins est très long, et ses trois catapultes n’envoient que huit pierres en une heure. Il donne des ordres pour en faire venir deux de plus, du même modèle.

Combien les cinq engins enverront-ils de pierres en une heure et demie ?

Trois catapultes envoient huit pierres en une heure. Cinq catapultes représentent une augmentation de 5/3 par rapport à trois, et une heure et demie représente une augmentation de 3/2 (= 1,5) par rapport à une heure.
Les 5 catapultes enverront donc : 8 * 5/3 * 3/2 = 20 pierres en une heure et demie. 

Le bras d’une catapulte mesure 12 pieds de long et permet de lancer une pierre de 44 livres avec une vitesse de 33 pieds à la seconde. Le système de lancée est calculé de telle façon que l’angle de tir soit exactement (ou presque exactement, nous ne sommes tout de même qu’au Moyen Age…) la moitié d’un angle droit.

A quelle distance des murs du château le capitaine de Montfort doit-il disposer ses engins de façon à être sûr que les pierres vont les atteindre ?  

(1 pied = 30,48 cm ; 1 livre = 454 grammes)

Le problème posé est un problème « classique » de balistique : on lance un projectile avec une vitesse d’origine v et sous un angle alpha et on étudie sa trajectoire : ici, on s’intéresse au point de chute du projectile et à la distance de ce point par rapport au point de lancer, distance que l’on appelle « portée du tir ».
Le projectile n’est soumis qu’à une seule force, qui est celle de l’attraction terrestre.


Les lois du mouvement des positions du projectile sur les axes x et y, en fonction du temps, sont données par les deux égalités :
x = v0 t * cos alpha
y = - 1/2 g t² + v0 t * sin alpha => la courbe est une parabole.

Comme dans l’exercice du saumon (voir la Série 2), il est à remarquer que la loi du mouvement du projectile est indépendante de sa masse.

Dans ce contexte, la portée du tir est donnée par la formule v²/g * sin 2* alpha.
Si l’angle de tir est l’angle optimal (45°), la formule se simplifie en : v² / g
Cette portée est aussi égale au double de l’altitude maximale du projectile au cours de sa trajectoire (on l’appelle aussi la flèche de la trajectoire).

Ici, v = 33 pieds / sec = 33 * 0,3048 = 10,05 m/s

La (faible) portée du tir de la catapulte est donc de 100 / 10 = 10 mètres…
Le poids de la pierre et la longueur du bras n’interviennent pas dans le calcul…
Il serait donc nécessaire de « booster » la vitesse initiale pour augmenter la portée !

 

DIFFICILE ( * * *)

 

L’ACADÉMIE DES ÉTOILES

A l’Académie des Etoiles, là où siègent les astronautes, cosmonautes et spationautes du monde entier, chaque membre doit arborer sur son habit bleu autant d’étoiles que l’Académie compte de membres.
Après le décès de l’un d’entre eux, à la réunion suivante, on compte 29 étoiles de moins.

Combien l’Académie compte-t-elle alors de membres ?

Appelons n le nombre de membres de l’académie avant le décès de l’un d’entre eux.
Le nombre d’étoiles est alors de n²
Après le décès, le nombre d’étoiles est de (n – 1)²
L’écart entre les deux étant de 29 étoiles, on peut alors poser : n² - (n – 1)² = 29
D’où : n² - (n² - 2n + 1) = 29 => 2n = 30 => n = 15

Il y avait donc 15 membres avant le décès et l’Académie en compte à présent 14

 

QU’Y A-T-IL APRÈS 20 ?

3  ‒  12  ‒  16  ‒  20  ‒ ?

Quel est le nombre suivant ?

Chacun des nombres s’écrit avec cinq lettres : TROIS, DOUZE, SEIZE, VINGT
Le suivant est donc MILLE

 

LUCIFER

Lucifer, malin, me jette vers sa…

Tanière, diligence ou cousine ?

Chaque mot de la phrase commence par les deux premières lettres d’un jour de la semaine : Lu ndi ma rdi me rcredi…
La réponse est donc : di ligence

 

L’AVÈNEMENT DU JEUNE PRINCE

La date du couronnement devait rester secrète.
Le 5 avril, le jeune prince se présenta devant le roi.
« Dans combien de jours, mon père, deviendrai-je roi ? »
« Tu le sauras, mon fils, si tu trouves combien font 5409 x 142. »
Le jeune prince s’en alla, perplexe. Son précepteur, certes, lui avait appris les multiplications, mais le résultat de celle-ci était effrayant ! Plus de sept cent mille jours, cela ne pouvait être la réponse, car il eût été roi dans deux mille ans !
Mais le 5 mai, le prince était roi. Il avait trouvé la solution.

Et vous, avez-vous trouvé ?

L’opération est codée, chaque chiffre vaut pour une lettre :
5409 x 142 = 768078
Parmi les chiffres de 0 à 9, un seul s’écrit avec trois lettres : SIX
Donc 142 = SIX et donc 4 = la lettre « I »
Le seul chiffre de quatre lettres ayant un « I » comme deuxième lettre est CINQ

CINQ x SIX = TRENTE et en effet le jeune prince était roi 30 jours après le 5 avril.