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Jeux mathématiques et logiques

Solutions de la Sixième série

 

Ph.Larvet, animateur de l’Atelier « Philo et Sciences »

 

FACILE ( * ) – pour jouer avec vos enfants

MÉTIER MYSTÉRIEUX

Vert fruit, noir noyau.
D’office, le voyou n’est pas seul.
Parfois du Diable.

Qui est-il ?

L’avocat, bien sûr !

 

TOTALLY SPIES

Clover, Sam et Alex, agents secrètes très spéciales, sont très inquiètes.
Jerry, leur responsable, leur a demandé de porter, pour la prochaine soirée qu'il organise, ces parures que l'Agence leur a offertes il y a un an déjà – pour les remercier de leur dernière mission périlleuse – et qu'elles ont balancées au fond d'une malle sans y prêter attention, et surtout sans bien noter quelle parure chacune avait reçue...

Or, Jerry et le Directeur de l'Agence s'en souviennent très bien !

Quand elles paraîtront lors de cette grande fête, arborant chacune une parure prise au hasard, combien y a-t-il de chances pour que deux seulement d'entre elles portent la bonne parure ?

Aucune chance, bien sûr, car si deux d’entre elles portent la bonne parure, alors la troisième la portera aussi…

 

BLANC

Blanc l’innocent, comme le bonhomme.
Petite, la boule.
Seulement du 21 décembre au 20 mars.

Qui suis-je ?

La neige.

LE RHODODENDRON

- Ce rhododendron ? Avec le pot, il coûte 50 sous.
- Mais je voudrais le rhododendron tout seul.
- Vous voulez dire, sans le pot ?
- Exactement.
- Ah, Madame, c'est possible, il ne vaut que trente sous de plus que le pot.

Combien la cliente paiera-t-elle son rhododendron ?

Appliquons la méthode habituelle : appelons R le prix du rhododendron seul et P le prix du pot.
La première phrase de la marchande se traduit par : P + R = 50
Et la dernière : R = P + 30
Reportons cette valeur de R dans la première égalité :
P + (P + 30) = 50 => 2P = 50 – 30 => P = 10, le pot vaut donc 10 sous
Comme la plante seule vaut 30 sous de plus, le rhododendron coûte donc 40 sous.

 

MOYEN ( ** )

UN VRAI MYSTÈRE…
Un grand écrivain, né fin XIXème, l’a cherché sa vie durant.
Un grand savant du XXème l’a fait tenir dans l’espace.
Les physiciens d’aujourd'hui s’interrogent : existe-t-il vraiment ?

De quoi s’agit-il ?

Le temps : Marcel Proust est parti « A la recherche du temps perdu » et Einstein l’a intégré dans l’espace, imaginant le concept d’espace-temps. Et les physiciens d’aujourd'hui ne sont pas sûrs qu’il existe réellement…

 

LES CINQ VOYAGEURS

Cinq voyageurs, chacun d’origine différente, venant de Béthune, Mulhouse, Nantes, Paris ou Rouen se présentent aux portes de la ville.
- Nous ne venons pas de Rouen, déclarent Serge et Pierre.
- Je ne viens ni de Béthune, ni de Rouen, affirme Marcel.
- Les autres ne viennent pas de Paris, ajoutent Pierre et Jacques.
- Moi, j’arrive de Nantes, dit Isidore.

Qui vient d’où ?

Comment résoudre ce type de problème ? En traçant un tableau, dans lequel on reporte une à une les informations données dans l’énigme :

1) « Nous ne venons pas de Rouen », déclarent Serge et Pierre. Pour le montrer, nous grisons la case « Rouen » pour Serge et Pierre

2) « Je ne viens ni de Béthune, ni de Rouen », affirme Marcel. Mettons à jour le tableau :

3) « Les autres ne viennent pas de Paris », ajoutent Pierre et Jacques. « Les autres », c'est-à-dire Serge, Marcel et Isidore. Mettons à jour notre tableau :

 

4) « Moi, j’arrive de Nantes », dit Isidore. Cette information est importante : non seulement nous pouvons rayer les autres villes que Nantes pour Isidore, mais nous pouvons rayer Nantes pour tous les autres :

5) Comme dans un sudoku, la solution apparaît peu à peu : tout d’abord, il ne reste plus qu’une ville d’origine possible pour Marcel : Mulhouse. Ceci nous permet, comme dans le cas de Nantes et d’Isidore, de rayer Mulhouse pour tous les autres voyageurs :

6) Une nouvelle information apparaît : Serge ne peut venir que de Béthune.

7) On voit aussitôt que Pierre ne peut venir que de Paris, ce qui laisse pour Jacques la seule et dernière solution : il vient de Rouen.

En résumé : Isidore vient de Nantes, Pierre de Paris, Marcel de Mulhouse, Jacques de Rouen et Serge de Béthune.

 

LES DEUX DILIGENCES

Deux diligences de dix places, comptant chacune 7 voyageurs au départ de La Flèche, font route vers Le Mans. A Malicorne-sur-Sarthe, il descend autant de voyageurs de la première qu’il en monte dans la deuxième. A La Suze, il monte dans la première voiture le double de voyageurs que dans la deuxième, et à Arnage, il en descend trois de la deuxième. A l’arrivée au Mans, il y a autant de passagers dans les deux diligences qu’au départ.

Combien étaient-ils au départ de Malicorne ?

5 et 9.
Puis 7 et 10 après La Suze, et enfin 7 et 7 en repartant d’Arnage.

On peut résoudre ce problème en utilisant également un tableau, montrant les différentes étapes du voyage : La Flèche, Malicorne, La Suze, Arnage et Le Mans, et pour chaque étape le nombre de voyageurs dans chaque diligence. Grâce à cette méthode, la solution apparaît assez rapidement.

 

DIFFICILE ( *** )

 

LE CODE DE LA ROUTE

Bertrand va passer son code de la route. Il y a 40 questions, quatre réponses possibles par question, mais une seule est la bonne. Cinq fautes maximum sont tolérées.

Bertrand n’a pas très bien révisé, et il décide d’une stratégie désespérée…
En répondant au hasard à chaque question, quelle probabilité a-t-il d’avoir son code ?

C’est là un problème assez difficile, du domaine des « probabilités ».
En mathématiques, une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, traduisant le degré de certitude qu’on a de la réalisation d’un événement donné. Par exemple, la probabilité, en lançant un dé, d’obtenir un nombre entre un et six est de 1 : c’est un événement certain. En revanche, pour Bertrand et son code de la route, la probabilité qu’il réponde juste, en donnant une réponse au hasard parmi quatre réponses possibles est de 1/4 = 0,25
Dans cette énigme en forme de problème, on doit calculer la probabilité pour Bertrand d’avoir répondu juste à au moins 35 questions sur 40, en sachant qu’il répond au hasard à chaque question, parmi quatre réponses possibles.
Il s’agit ici, pour chaque question du code, de ce qu’on appelle une « épreuve de Bernouilli », c'est-à-dire une expérience aléatoire (puisque la réponse est donnée au hasard) comportant deux issues possibles : succès (Bertrand a répondu juste) ou échec (cas contraire).
Pour calculer les probabilités dans ce type d’épreuves, on utilise une loi mathématique appelée « loi binômiale », qu’on applique lorsqu’on répète des épreuves identiques de manière indépendante (ce qui est le cas ici, les questions étant indépendantes les unes des autres) et que ces épreuves suivent le schéma de Bernouilli.
Cette loi nécessite trois paramètres :
n = le nombre d’épreuves (d’essais), ici n = 40 puisqu’il y a 40 questions
p = la probabilité de réussite de chaque essai, ici 1 chance sur 4 réponses => p = 1/4 = 0,25
k = le nombre de succès que l’on recherche, ici k est au moins égal à 35
Sur la base de ces trois paramètres, la loi binômiale s’exprime ainsi 
(la notation ^ signifie "élévation à la puissance") :

P(n, k) = (n,k) p^k; (1 – p)^(n-k);

Le nombre (n,k) est ce qu’on appelle le « coefficient binômial » et il est donné par la formule : (n,k) = n ! / (k ! (n – k) !) dans laquelle « n ! » est la « factorielle de n » = 1 x 2 x 3 … x n
Par exemple 5 ! = factorielle de 5 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

A l’aide de cet outillage, calculons à présent la probabilité pour Bertrand d’avoir au minimum 35 réponses exactes aux 40 questions.

Le coeff. binômial est donné par l’égalité :

40 ! / (35 ! * 5 !) = 36 x 37 x 38 x 39 x 40 / 120 = 658008

Appliquons la formule de la loi ci-dessus :
P(40, 35) = 658008 * 0,25^35 * (1 – 0,25)^5 =  0.0000000000000001322 (= 1.3 * 10^-16)

Avec sa stratégie désespérée de répondre au hasard, le pauvre Bertrand n’a donc aucune chance d’avoir son code de la route ! Le mieux pour lui est de réviser sérieusement !

 

LE MARATHON

Au grand marathon de Bergerac, chaque concurrent porte un dossard, les numéros étant attribués en se suivant, du premier au dernier.
Un gamin s’amuse à additionner tous les chiffres des dossards (par exemple, le numéro 43 compte pour 7 = 4+3). Il trouve en tout 1351.

Combien y a-t-il de coureurs ?

De 1 à 100, on compte 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45, fois dix pour les chiffres des unités, soit en tout 450.

Pour les dizaines, on compte 10*1 + 10*2 + … + 10*9 = 10*45 = 450 également.

100 coureurs correspondent donc à une somme de 900, on peut donc supposer que la somme trouvée par notre gamin, 1351, correspond à peu près à 150 coureurs.

De 100 à 149, on a 5 sommes (1+2+3+…+9) pour les unités, soit 225, puis 10*1 pour les chiffres des centaines de 100 à 109, 10*2 de 110 à 119, et ainsi de suite jusqu’à 149, soit en tout 10*(1+2+3+4+5) = 150, ce qui nous donne une somme de

 900 + 225 + 150 = 1275 jusqu’à 149 coureurs.

Il reste une différence de 1351 – 1275 = 76, ce qui correspond à 8*1 = 8 pour les chiffres des centaines, plus 8*5 = 40 pour les chiffres des dizaines, plus 0+1+2+3+4+5+6+7 = 28 pour les chiffres des unités : 8 + 40 + 28 = 76, ce qui permet de compter jusqu’à 157.

Ce qui donne donc au total 157 coureurs.

 

Jeux mathématiques et logiques (6)

 

LES TROIS PORTES (problème proposé par Léo Barré, adhérent de l’UTL, professeur de mathématiques et adepte de nos « Jeux mathématiques et logiques »)

Le jeune Clampouillou est prisonnier dans un cachot, entièrement clos, à l’exception de trois portes situées en face de lui.
Il est écrit sur le mur que seule une des portes le conduira à la liberté, les deux autres le menant dans des oubliettes dont il ne pourra s'échapper.


Les trois portes étant semblables, Clampouillou en choisit une au hasard. Au moment précis où il pose sa main sur la poignée, une des deux autres portes s'ouvre en grand et révèle que cette dernière conduisait à des oubliettes.

Clampouillou retourne donc devant la porte qu'il avait choisie, pose sa main sur la poignée, puis réfléchit. Après quelques calculs (nous avons oublié de préciser que Clampouillou est mathématicien), il en conclut qu'il est deux fois plus probable que l'autre porte - qui n'est pas ouverte - le conduise à la liberté plutôt que celle qu'il a choisie en premier.

Et, en effet, son raisonnement est correct. Pouvez-vous l’expliquer ?

Voici la solution proposée par Léo Barré :