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Jeux mathématiques et logiques

Solutions de la Septième série

 

Ph.Larvet, animateur de l’Atelier « Philo et Sciences »

 

FACILE (*) – pour jouer avec vos enfants

 

LE FILS UNIQUE

Je suis fils unique.

Pour mon fils, qui est le père de la belle-fille de ma mère ?

Son grand-père maternel.

 

PRÈS DE SES SOUS

- Voici trois pièces de cinq sous, dit Pimprenelle, et deux de deux sous.
- Merci, dit Nicolas.
- Attends un peu ! Comment peux-tu faire sept sous avec deux pièces, dont l’une n’est pas une pièce de deux sous ?
- C’est impossible ! s’écrie Nicolas.

Qu’en pensez-vous ?

C’est très possible, au contraire. Il suffit de prendre une pièce de cinq sous et une de deux sous : une des deux n’est pas une pièce de deux sous.

 

SOUPER CHEZ LE MARQUIS

A la table du Marquis de Carabas, il y a des nobles, des membres du clergé, parmi lesquels des évêques, et deux banquiers sans titre nobiliaire.

On compte onze invités qui ne sont pas évêques, huit qui ne sont pas nobles et sept qui ne font pas partie de l’église.


Combien y a-t-il d’évêques ?

Parmi les huit invités qui ne sont pas nobles figurent les deux banquiers, ce qui laisse six membres du clergé. Avec les sept personnes qui n’en font pas partie, cela fait treize et puisqu’il y a onze personnes qui ne sont pas évêques, c’est donc qu’ il y a deux évêques.

 

DESSINER UNE ELLIPSE – petit jeu à faire avec vos enfants

Matériel nécessaire : deux punaises, du carton, de la ficelle et un crayon. Plantez les punaises sur le carton, pas trop près du bord. Faites passer la ficelle autour des deux punaises et fermez-la avec un nœud, en laissant un peu de mou (voir le dessin).
Avec le crayon, tendez la ficelle et faites un tour complet des deux punaises en gardant la ficelle bien tendue : et voilà une superbe ellipse !

Question : quelle forme obtenez-vous en mettant les deux punaises au même endroit ?

Un cercle, bien sûr ! 

 

MOYEN ( * * )  

LE ROBOT RÉPARATEUR

Dans un épisode (tout à fait méconnu) de Star Wars, Luke Skywalker et la princesse Léïa découvrent sur la planète Schmurz un atelier de fabrication de robots abandonné.

Sur l’un des robots, la princesse remarque cette inscription : « Je répare tous les robots qui ne se réparent pas eux-mêmes – et seulement ceux-là. »

La princesse réfléchit un instant (ce qui lui arrivait parfois), puis se tourne vers Luke et lui demande :
- Mais, dis-moi, qui donc répare ce robot ?

Que lui répondriez-vous ?

Ce paradoxe est une variante du célèbre paradoxe du barbier, dû au mathématicien Bertrand Russell. Sur l’enseigne du barbier de Séville on peut lire « Je rase tous les hommes de Séville qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. » Qui donc rase le barbier ?

S’il se rase lui-même, il appartient à l’ensemble des hommes qui se rasent eux-mêmes ; mais son enseigne affirme qu’il ne rase jamais personne appartenant à cette catégorie. Il ne peut donc pas se raser lui-même.

Si quelqu'un d’autre rase le barbier, le barbier devient donc un homme qui ne se rase pas lui-même. Or, son enseigne dit que lui seul rase les hommes de cette catégorie, par conséquent, personne d’autre ne peut raser le barbier. En fait, personne ne peut raser le barbier, qui est condamné à porter une énorme barbe… Mais si le barbier est rasé… alors il s’agit d’un superbe paradoxe !

La transposition au problème du robot de Star Wars est facile à faire, et personne, hélas, ne peut réparer ce pauvre robot…  

 

LES VAISSEAUX SPATIAUX

Deux vaisseaux spatiaux se rapprochent l’un de l’autre. Le premier se déplace à la vitesse de 8 km / minute, le second à la vitesse de 12 km / minute.

Pour l’instant, ils sont distants de 5000 kilomètres.

S’ils ne changent pas de trajectoire, à quelle distance seront-ils l’un de l’autre trente secondes avant la collision ? 

Puisque les deux vaisseaux voguent l’un vers l’autre, le premier à 8 km / minute et le second à 12 km / minute, ils se rapprochent donc chaque minute l’un de l’autre de 20 km. Une minute avant la collision, ils seront donc à 20 km l’un de l’autre, et 30 secondes avant, ils seront à 10 km l’un de l’autre.

L’information selon laquelle « pour l’instant, ils sont distants de 5000 km » n’est pas utile pour le raisonnement…

 

PARLONS UN PEU DU PÉTROLE

Les réserves mondiales "prouvées" de pétrole étaient en 2017 de 1696 milliards de barils. (source : https://www.planete-energies.com/fr/medias/chiffres/reserves-mondiales-de-petrole)
(Pour information, 1 baril = 159 litres).
Mais selon la plupart des experts, elles sont surestimées d'au moins 40%.

La consommation mondiale de pétrole, quant à elle, était de 92,5 millions de barils par jour en 2014. (source : http://www.lemonde.fr/economie/article/2014/01/21/petrole-vers-un-record-de-consommation-en-2014_4351534_3234.html)

Cette consommation a fait un bond en 2016 pour atteindre 96 millions de barils par jour (source : https://www.novethic.fr/actualite/energie/energies-fossiles/isr-rse/decryptage-la-fin-du-petrole-serait-bien-plus-proche-qu-attendu-144688.html) puis 100 millions de barils/jour en 2019.
(source : https://bfmbusiness.bfmtv.com/entreprise/l-aie-prevoit-une-baisse-de-la-consommation-mondiale-de-petrole-en-2020-une-premiere-depuis-2009-1871758.html)

En prenant en compte les « réserves prouvées » et leur surestimation, et en supposant que la consommation mondiale reprendra en 2021 au même niveau qu’en 2019 et avec la même évolution qu’entre 2014 et 2019, en quelle année pourra-t-on considérer que l’on manquera sérieusement de pétrole ?

Nota : Cette question doit être vue comme un « cas d’école » (bien que basé sur des chiffres réels), et non comme un pronostic sur l’avenir de notre approvisionnement pétrolier…

Si les réserves « prouvées » sont surestimées d’environ 40%, les « vraies » réserves (?) peuvent être considérées comme égales à 60% de 1696 = 1018 milliards de barils.

Par ailleurs, l’augmentation de la consommation mondiale est passée de 92,5 millions de barils par jour à 96 millions en deux ans (de 2014 à 2016), soit une augmentation de 3,5 millions de barils/jour. Puis elle est passée en trois ans (de 2016 à 2019) de 96 à 100 millions, soit une augmentation de 4 millions de barils/jour. Comme le but de ce « cas d’école » est de donner une estimation, on peut considérer que la moyenne de l’augmentation annuelle de la consommation sur ces cinq ans est de
(3,5 + 4) / 5 = 1,5 millions de barils/jour.

Le « cas d’école » se reformule donc ainsi : en considérant que la consommation repart en 2021 sur la base de « vraies » réserves de 1018 milliards de barils, avec une consommation mondiale de 100 millions de barils/jour (= 36,5 milliards de barils / an !) et avec une augmentation annuelle de cette consommation de 1,5 %, en quelle année les réserves commenceront à être sérieusement épuisées ?

Je vous propose trois méthodes pour résoudre ce problème : la première est purement mathématique, la seconde est d’utiliser un tableur comme Excel par exemple, la troisième est d’écrire un petit programme informatique.

Voyons chacune de ces méthodes.

1) Approche purement mathématique

Chaque année, la consommation mondiale augmente de 1,5% : d’une année à l’autre, la consommation constitue ce qu’on appelle une « suite géométrique », dont la « raison » (= le coefficient par lequel chaque terme est multiplié chaque année) est 1,5% plus exactement 1,015.

Le problème consiste donc à faire une somme pendant n années des termes de cette suite, jusqu’à ce que ce montant atteigne celui des réserves mondiales, soit 1018 milliards.

La somme S des n termes (n = nombre d’années) d’une suite géométrique de raison q, à partir d’un terme initial a, est donnée par la formule :
S = a * (1 – q^n) / (1 – q)        
Rappelons que la notation q^n signifie « q à la puissance n » 

Dans notre problème :
a = 36,5 milliards de barils la première année,
q = la raison de la progression géométrique = 1,5% = 1,015
S = 1018 milliards
et la valeur de n est notre inconnue

Nous pouvons donc écrire :
1018 = 36,5 * (1 – 1,015^n) / (1 – 1,015)
=> 1018 = (36,5 – (36,5 * 1,015^n)) / - 0,015
=> après développement : 51,77 = 36,5 * 1,015^n => 1,41835 = 1,015^n
On obtient une égalité de type a = b^x, dans laquelle l’inconnue est un exposant.
Il faut donc utiliser les logarithmes pour la résoudre : x = log(b) / log(a) 

Ici, n = log(1,41835) / log(1,015) = 0,34949 / 0,01488 = 23,47 ans

En conclusion, en partant de 2021, on peut considérer que si l’on se base sur ces chiffres, rien ne va plus pour le pétrole entre 2044 et 2045.
 

2) Tableur Excel

Cette solution est beaucoup plus simple et nous évite d’utiliser les logarithmes !

Dans votre tableur préféré (Excel ou Open Calc d’Open Office), créez un tableau avec ces données de départ, qui positionnent la consommation annuelle et les réserves restantes en 2021 :

   

Puis ajoutez les différentes formules qui vont permettre d’obtenir les données des lignes suivantes à partir de celles de la ligne 2 :
A3 = A2 + 1 (l’année suivante), puis recopiez cette formule jusqu’à la ligne 26 (pas besoin d’aller plus bas…)

Calculez à présent la consommation annuelle de 2022 en prenant en compte celle de 2021 et le taux d’augmentation de 1,5% par an :
B3 = B2 * 101,5 / 100 puis recopiez la formule jusqu’à la ligne 26 :

 Enfin, il suffit d’enlever chaque année la consommation aux réserves (C3 = C2 – B3), puis de recopier la formule vers le bas, pour voir apparaître la solution : vers 2045, rien ne va plus !

 

3) Petit programme informatique

Cette solution est encore plus simple que les deux autres. Elle montre la puissance d’un algorithme très rudimentaire pour obtenir la solution d’une fonction mathématique relativement compliquée. Pour faire un jeu de mots facile, elle permet d’utiliser un algorithme à la place d’un logarithme…
Cette solution vous intéresse si vous avez quelques notions de base en programmation.

On commence par donner leurs valeurs de départ aux variables « annee », « reserves » et « conso » (= « consommation annuelle ») :
annee = 2021
reserves = 1018
conso = 36.5

Puis, « tant que les réserves ne sont pas épuisées », on va faire les actions suivantes :
annee = annee + 1 (on ajoute 1 au numéro de l’année)
conso = conso * (101.5/100)  (on calcule la nouvelle conso de l’année)
reserves = reserves – conso  (on enlève cette conso aux réserves)
afficher annee et reserves

Voilà, notre programme est terminé. Comme vous le voyez, il est très simple et très logique. Si vous disposez d’Excel ou de Word, vous pouvez écrire ce petit programme sous forme d’une « macro » : dans la barre de menus, sélectionnez Outils -> Macro et créez le Sub petrole() (« sub » signifie qu’il s’agit s’un « sous-programme » de Word ou d’Excel) :

 

Puis recopiez le petit programme que l’on vient d’écrire, avec les précautions suivantes :
- « tant que » introduit une boucle répétitive de calculs, et s’écrit « While » et se termine par un « end while » noté « Wend » dans une macro
- les commentaires peuvent être notés sur une ligne, précédés d’une apostrophe « ‘ »
- l’affichage des résultats se fait en ouvrant une petite fenêtre de message appelée « MsgBox » dans les macros
- les variables utilisées sont numériques ; pour les convertir en caractères affichables (qu’on appelle « string »), il faut utiliser la fonction « cstr » (conversion string).

En restant dans Word (ou Excel), on peut désormais lancer l’exécution de la macro en appuyant sur le petit triangle vert (juste en dessous de « Format »).

Année après année, on voit s’afficher l’état des réserves de pétrole (les chiffres sont conformes aux résultats calculés dans Excel) :

 

DIFFICILE ( * * * )

 

LE CROCODILE ET LE BÉBÉ

Les philosophes grecs aimaient raconter l’histoire du crocodile qui s’était emparé d’un bébé et disait à la mère :
- Vais-je manger ton bébé ? Réponds sans mentir et je te le rendrai intact.
Et la pauvre mère éplorée répondait :
- …

Que devait-elle répondre pour récupérer son bébé intact ?

La maman dit au crocodile : « Tu vas manger mon bébé ! »
Le crocodile est alors si abasourdi qu’il laisse le bébé s’en aller.
La mère s’en saisit, bien sûr, et s’en va en courant…

En effet, quoi que fasse le crocodile, il est certain d’agir en contradiction avec sa promesse.
S’il rend le bébé, la mère aura menti, ce qui lui aurait donné le droit de le dévorer.
S’il le mange, la mère aura dit vrai et il devra alors rendre le bébé indemne.
Le crocodile est pris dans un paradoxe logique dont il ne peut s’échapper sans se contredire lui-même.

Supposons qu’au contraire, la mère ait dit : « Tu vas me rendre mon bébé. »
Alors, le crocodile peut le rendre ou le manger, dans les deux cas sans contradiction.
S’il le laisse aller, la mère disait vrai et le crocodile tenait sa promesse.
Mais si le crocodile veut se montrer méchant, il peut manger le bébé, ce qui rend fausse la proposition de la mère et autorise le crocodile à ne pas restituer le bébé.

 

ÉTRANGES ÉTRANGERS

Dans une taverne de Venise, à deux pas de San Marco, deux étrangers discutent.

Leur conversation n’échappe pas au célèbre Herculo Poirotti, envoyé spécial de la police du Doge, qui parle parfaitement leur langue. A son ami Fouché(*), qui s’étonne de la présence de ces deux individus qui semblent s’exprimer en espagnol, Poirotti rétorque en français :
- Tu sais, ils sont ici un peu chez eux !
- Ah, bon ! répond Fouché, interloqué - et pourquoi donc ?
Poirotti sourit finement :
- Eh bien, dans quelques décennies, leur capitale aura un nom qui commence comme une capitale et finit par une carte (à jouer).
- Je ne vois pas du tout, balbutie Fouché, un peu perdu.
- Attends ! ajoute Poirotti. Si l’on retourne cette carte et qu’on la place devant le nom, la capitale est renversée.

De quel pays viennent les deux étrangers ?

(*) Joseph Fouché, né en 1759, était chef de la police à la fin du XVIIIème siècle. 

Ils viennent du Venezuela, pays de langue espagnole dont le nom signifie « Petite Venise », ce qui explique qu’ils sont à Venise un peu chez eux…
Leur capitale s’appellera Caracas en 1821, et notre histoire se déroule avant cette date.
Ce nom commence comme une capitale, Ca, et finit comme une carte, as.
Si l’on retourne cet as en « Sa » et qu’on le place devant, on obtient « sacarac », qui donne bien « Caracas » à l’envers.

 

LE COFFRET A BIJOUX

La marquise a placé ses bijoux dans un coffret que lui a confectionné son ferronnier. Le coffret ne s’ouvre qu’en tournant une molette plusieurs fois vers la gauche, puis plusieurs fois vers la droite, et ainsi deux fois de suite.

Pour que la marquise se rappelle le code à quatre chiffres correspondant au nombre de fois où il faut tourner la molette, le ferronnier, adepte de jeux mathématiques, lui a donné un aide-mémoire sous forme de devinette, afin que le code ne soit pas divulgué :

?

59378   378

792

 

Quel est le code à quatre chiffres permettant d’ouvrir le coffret ?

 

L’emplacement des chiffres, situés au nord de l’aide-mémoire, donne la solution :
59378 est à l’OUEST : 5 = O, 9 = U, 3 = E, 7 = S et 8 = T
378 est à l’EST et 792 au SUD

Les lettres des quatre points cardinaux sont codées de 2 à 9, dans l’ordre alphabétique
D = 2, E = 3, N = 4, O = 5, R = 6, S = 7, T = 8, U = 9

Il manque donc le nord, codé 4562, qui est le code permettant d’ouvrir le coffret.

 

.